Nama   : Ayu Inka Avinda

NIM    : 21060117120002

Kelas   : A

TUGAS PENGGANTI KULIAH

METODE KOMPUTASI NUMERIK

 

A.    Metode Euler

Metode Euler adalah salah satu dari metode satu langkah yang paling sederhana. Di banding dengan beberapa metode lainnya, metode ini paling kurang teliti. Namun demikian metode ini perlu dipelajari mengingat kesederhanaannya dan mudah pemahamannya sehingga memudahkan dalam mempelajari metode lain yang lebih teliti.

Metode euler atau disebut juga metode orde pertama   karena persamaannya kita hanya mengambil sampai suku orde pertama saja.

Misalnya diberikan PDB orde satu,

                         = dy/dx = f(x,y) dan nilai awal y(x₀) = x₀

Misalkan

                        y_r = y(x_r)

adalah hampiran nilai di x_r yang dihitung dengan metode euler. Dalam hal ini

                        x_r = x₀ + rh,                                  r = 1, 2, 3,…n

metode euler diturungkan dengan cara menguraikan y(x_r+1) d_{i se}kitar x_r ke dalam deret taylor :

y(x_r+1)=y(x_r)+y’(x_r)+y”(x_r)+…                          (1)              

bila persamaan di atas dipotong samapai suku orde tiga, peroleh

y(x_r+1) = y(x_r) + y’(x_r) + y”(t),     x_r<t<x_r+1                   (2)

 

 

berdasarkan persamanan bentuk baku PDB orde orde satu maka

                        y’(x_r ) = f(x_r, y_r)

dan

                        x_r+1 – x_r = h

maka persamaan 2 dapat ditulis  menjadi

                        y(x_r+1)y(x_r)+hf(x_r,y_r)+y”(t)                                             (3)                                              

dua suku pertama persamaan di atas yaitu :

                       

y(x_r+1) = y(x_r) + hf(x_r, y_r) ;       r = 0, 1, 2,…,n                                               (4)

atau dapat ditulis                    

y_r+1  = y_r + hf_r

            yang merupakan metode Euler.

 

B.     Metode Heun (Perbaikan Metode Euler)

            Metode Euler mempunyai ketelitian yang rendah karena galatnya besar (sebanding dengan h). buruknya galat ini dapat dikurangi dengan menggunakan metode Heun, yang merupakan perbaikan metode Euler (modifified Euler’s method ). Pada metode Heun , solusi dari metode Euler dijadikan sebagai solusi perkiraan awal (prediktor), selanjutnya solusi  perkiraan awal diperbaiki dengan metode Heun (Corrector).

            Metode Heun diturunkan sebagai berikut:

Pandang PDB orde Satu

           

Integrasikan kedua ruas persamaan dari x_r sampai x_r+1 :

           

                                        = y(x_r+1)-y(x_r)

                                        = y_r+1-y_r

Nyatakan y_r+1 di ruas kiri dan suku-suku lainnya di ruas kanan:

                                                                             (p.7)

Suku yang mengandung integral di ruas kanan ,

            ,

dapat diselesaikan dengan kaidah trapezium menjadi

                                                 (p.8)

Sulihkan persamaan  (p.7) ke dalam persamaan (p.8) , menghasilkan persamaan

                                                            (p.9)

Yang nerupakan metode Heun , atau metode Euler-Cauchy yang diperbaiki. Dalam persamaan (p.8) suku ruas kanan mengandung  y_r+1 ini adalah solusi perkiraan awal (prediktor) yang dihitung dengan metode Euler. Persamaan (p.9) dapat dituls sebagai :
predictor :

Corrector :                                            (p.10)

Atau ditulis dalam satu  kesatuan,

                                           (p. 11)

 

Perhitungan (Mengerjakan soal)

1.      METODE HEUN

Diketahui Persamaan diferensial Biasa

dy/dx   = x²  y²  dan  y(1) = 1

Gunakan metode Heun untuk menghitung  y(1.2) dengan ukuran langkah  h = 0.1

Penyelesaian:

Dalam hal ini, f(x, y) = x²  y²    , dan penerapan metode Euler pada PDB tersebut menjadi

f(x, y) = x²  y²

·         y(x₀ ) = y₀

·         y(1) = 1          

·         a = x₀ = 1

·         b = 1.2

·         h = 0.1

-          x₀ = 1    

-          y₀ = 1

maka   n = (1.2 - 1)/0.1 = 2 (jumlah langkah)

 

Langkah-langkah:

 

-          x1       = 1.1  

-          y⁽⁰⁾₁  =  y0  + h f(x 0, y0)

       = 1 + 0.1(1² . 1²)

                                        = 1.1

-                   x2       = 1.2

-                   y⁽¹⁾₁  =  y0  + (h/2) [ f(x 0, y0) + f(x ₁, y⁽⁰⁾₁) ]

       = 1 +( 0.1/2 ) [(1² . 1²) + (1.1²  .  1.1²)

                                        = 1.123205

jadi, y(1.2) = 1.123205

 

2.      METODE EULER

Diketahui Persamaan diferensial Biasa

dy/dx   = x²  y²  dan  y(1) = 1

Gunakan metode Euler untuk menghitung  y(1.2) dengan ukuran langkah  h = 0.1

 

Penyelesaian:

Dalam hal ini, f(x, y) = x²  y²    , dan penerapan metode Euler pada PDB tersebut menjadi    

            yr+1= yr + 0.1(x_r²  y_r²)

langkah langkah :

·         y(x₀ ) = y₀

·         y(1) = 1          

·         a = x₀ = 1

·         b = 1.2

·         h = 0.1

-          x₀ = 1    

-          y₀ = 1

-          x₁ = 1.1 

-          y₁ = y0 + 0.1(x_r²  y_r²) = 1 + (0.1) (1² * 1²) = 1.2

y₁=  1.2

-          x₂ = 1.2

-          y₂ = y₁ + 0.1(x_r²  y_r²) = 1.2 + (0.1) (1.1² * 1.2²) = 1.37424

 y₂ = 1.37424

jadi, y(1.2) = 1.37424